חדוות המתמטיקה ונפלאות התבונה

נתמזל מזלי ובעת לימודיי בתיכון זכיתי במורה למתמטיקה שהוא מן המורים המטביעים חותמם על כל חייך. זה היה אלכסנדר בראלי' שהיה אז להערכתי בשנות החמישים לחייו. הוא עלה מרוסיה, כנראה בסוף שנות העשרים, לאחר שקנה לעצמו מעמד של מלומד בולט בתחום המתמטיקה והפיסיקה. בין היתר חקר שם את מעוף הבומראנג, כלי הנשק המופלא של ילידי אוסטרליה.

אלכסנדר בראלי בתקופה בה למדתי אצלו (באדיבות בנו קדמה בראלי)

אלכסנדר בראלי

תכונתו של הבומראנג שהוא חוזר למשלחו אם לא פגע במטרה. בראלי המשיך במחקר גם כאן בארץ ובאחד הניסויים פגע הבומראנג בסנטרו והותיר בו צלקת עמוקה. הסיפור הזה פורסם בשעתו בירחון "הטכנאי הצעיר" שכנער חובב מדע הייתי מקוראיו המכורים.
בראלי ניסה להתקבל כמרצה בטכניון, אך משרות לא היו אז בשפע ובלית ברירה הפך להיות מורה למתמטיקה, לפיסיקה ולשירטוט בכמה בתי ספר תיכוניים ומקצועיים. שם פגשתי בו והתקופה בה למדתי תורה מפיו לא תשכח ממני.

בגרות? חבל על הזמן

בראלי לימד כימיה, פיסיקה, מתמטיקה, שירטוט. אך עיקר כוחו היה במתמטיקה. הוא התייחס בזלזול למה שנחשב כמטרת הלימוד בתיכון, דהיינו בחינות הבגרות. חבל על הזמן, אמר לנו. הוא הסביר שמתמטיקה בכלל לא לומדים אלא חושבים. אין טעם לשנן נוסחאות ולחקות פתרונות שאחרים מצאו. כל בני האדם הם בעלי תבונה, אמר. ומתמטיקה היא עניין של תבונה, לא לימוד.

ללמוד מתמטיקה כמשחק. בראלי בציור קרירטורי (באדיבות בנו קדמה בראלי).

הוא התחיל אתנו מבראשית. מן המתמטיקאים היוונים. למשל אוקלידס, אבי הגיאומטריה. קחו סרגל ומחוגה וכל העולם בידכם. ציירו ישר יחיד העובר דרך שתי נקודות. ולישר אין ממדים אלא אורך ולנקודה אין שום מימד אלא מקום. ותוכלו לבנות מעגלים ומשולשים ומרובעים ורבי צלעות ולגלות את חוקיהם.

להמציא את משפט פיתגורס

משפט פיתגורס? אין צורך ללמוד. נמציא אותו מחדש. הבה נסתכל מה קורה עם משולש ישר זווית. נא ציירו ריבועים על כל אחד מצלעותיו. קיבלנו צורה דמויית מכנסיים, שיש בה שלושה ריבועים ומשולש. נא הוכיחו לי שצרוף שטח הריבועים של הצלעות הניצבות זו לזו שוות לשטח הריבוע של היתר של המשולש. תראו כמה זה קל.

קח מחוג וסרגל וכל העולם בידך. אוקלידס.

לשחק במקום ללמוד

בראלי לא לימד אותנו. הוא שיחק איתנו, משחק אינטלקטואלי מסעיר. מה יקרה עם נחתוך חרוט (קונוס) בקו מקביל לבסיס. כן, נקבל מעגל. אך איזה קו נקבל אם נחתוך את החרוט באלכסון? כך נתגלתה האליפסה, שהיתה קו תאורטי שבוחנים את תכונותיו למען התענוג האינטלקטואלי. ורק לאחר הרבה שנים נתברר כי הקו הזה הוא הקו שבו נעים הכוכבים במסילותם (ולא בקו עגול כפי שחשבו היוונים הקדמונים).

kapitolinischer_pythagoras_adjusted

domenico-fetti_archimedes_1620

או קחו למשל את חוק ארכימדס. איך נגלה אם הגוש שבידינו עשוי זהב טהור, או שמישהו הכניס בו סיגים של מתכת זולה יותר? הבה ניכנס לאמבטיה של ארכימדס ונצא בקריאה "אאוריקה" – מצאתי. כן, יש לנו את חוק ארכימדס על משקלו של הגוף המושקע במים והיחס בינו לבין המים שהגוף דחה. ואם מדברים על ארכימדס: תנו לי נקודת משען ואזיז את העולם. וכך למדנו את חוקי המנוף של ארכימדס ולמדנו על הדרך בה ניסה להציל את סירקוז על ידי  מנופים שהרימו אוניית ענק והטילום הימה.

מספרים ראשוניים
ומספר מדומה

בשלב מסויים חרג בראלי לגמרי מתכנית הלימודים לכיוונים חדשניים, שלא היינו מודעים אז לחשיבותם. מה הם המספרים הראשוניים, אלה המתחלקים רק בעצמם וב-1 ? הנה רשימה קטנה: 1,3,5,7,11,13,17,19,23
קל למצוא מספרים אלה עד 100 נניח. אך מה הלאה? איך נמצא אותם? האם יש חוקיות מסויימת שניתן לגלות ולקבוע על פיה אם מספר כלשהו ראשוני או מתחלק?

ואם מדברים במספרים מה דעתכם למצוא את השורש של מספר שלילי? לכאורה אין מספר כזה כי זה אינו יכול להיות לא מספר חיובי ולא מספר שלילי, שכן בשני המקרים מכפלתו בעצמו לא תיתן לנו מינוס ארבע. אז נניח שיש מספר כזה ונכנה אותו i . מה יקרה כשנתחיל לשחק עמו קצת? יקרה הרבה מגלה לנו בראלי. המספר המדומה הזה משמש בסיס לחישובים באלקטרוניקה.

חיים בתוך חצוצרה

ואחרי ששבענו מלגלות את כל חוקי הנדסת המישור שואל אותנו בראלי ומה יקרה אם המישור שלנו איננו מישור אינסופי – כפי שתאר אוקלידס – אלא מישור סופי העוטף כדור? הרי כל החוקים ישתנו. למשל שני קווים הניצבים לקו המשווה של הכדור יוצאים כשהם מקבילים ובניגוד למקבילים שבמישור האוקלידי הם נפגשים בציר. ומה יהיה טיבה של גאומטריה של אנשים החיים על שטח עקום כמו חצוצרה למשל? או בהרבה חללים עקומים אחרים? ובלי שהבחנו מביא אותנו בראלי לתורת היחסות הכללית של איינשטיין, המדברת על עקמומיותו של החלל. וכך הקפיץ אותנו בראלי מיוון הקדומה לגאוני המתמטיקה והפיסיקה של הדורות האחרונים: גאוס, רימן, פואנקרה, פלנק, בוהר, הייזנברג, נורברט וינר, ג'ון פון נוימן ואינשטיין. ויש לי חשד שהמורה החביב שלנו קרא בעיתונות המקצועית גם את המשוואות של נאש שהוא הנושא שלנו. אך קודם אעיר כי אין פלא שהדור שבו היו מורים כאלה הצמיח ארבעה חתני פרס נובל ישראלים בתחום המדעים.

קטע מן המאמר ב"הטכנאי הצעיר" המתאר את מחקר הבומרנג של בר-אלי


"נפלאות התבונה"

אני מספר את זכרון הנעורים על המורה שלי למתמטיקה כדי להמליץ על הספר "נפלאות התבונה – סיפורו של גאון מתמטי". הספר הזה החזיר אותי לאותה חדוות נעורים של אהבת המתמטיקה. הספר  כבר הופיע מזמן, גם באנגלית וגם בתרגום עברי. אך זה טבעם של ספרים טובים: כמו יין טוב  הם משביח עם הזמן.

niflaot1

זהו סיפורו של גאון מתמטי, ג'ון פורבס נאש, שפרץ לעולם המתמטיקה בשנת 1948. בגיל 21 כתב מאמר קצר (בן 27 עמודים בלבד) שזיכה אותו בפרס נובל לכלכלה כמעט יובל שנים לאחר שנכתב. נאש לא הלך בדרכה של אף אסכולה וקשה להצביע על מורה ספציפי שהיה לו. הוא כמעט המציא לבד מחדש את כל המתמטיקה. יודעי דבר אומרים כי העבודה שעליה זכה בפרס נובל היא הפחות חשובה מבין מכלול עבודותיו. עבודה זו עסקה באחד האספקטים של "תורת המשחקים". על בסיס תורה זו פיתח נאש תובנה על יריבות אנושית, עימות רציונאלי ושיתוף פעולה בין שותפים ויריבים.

נאש הראה כי כשמספר גדול של פרטים פועלים באורח רציונאלי, גם בלי כל הסכמה ביניהם, נוצר "שיווי המשקל של נאש", שהוא בעצם ניסוח מעודכן של רעיון "היד הנעלמה" בכלכלה של אדם סמית בן המאה ה-.19 התאוריה שלו הפכה להיות בעלת השפעה אדירה בתחומים רבים ובמיוחד בתחום הכלכלה.

מחלה חשוכת מרפא

בהגיעו לגיל 30 חלה נאש במחלת נפש הנחשבת חשוכת מרפא – סכיזורפניה פרנואידית. הוא החל לשמוע קולות, סבל מהזיות ומחשבות שוא. הוא אושפז כמה וכמה פעמים, קיבל טיפולים של הלם באינסולין ובחשמל – תהליכים הנחשבים כמרפאים כמה מן הסימפטומים של המחלה אך מוחקים כל שריד של גאוניות.

משך שלושים שנה היה נאש נע ונד, צל חי של עצמו. נסע לאירופה וניסה לוותר על אזרחותו האמריקנית ולהיות "אזרח העולם". ניסה להקים ממשלה עולמית, לייצג את תושבי החלל בכדור הארץ ועוד יצירים פראיים של המחלה. כך ארע שבעוד נאש היה בחזקת מת-חי (ורבים מבני הדור הצעיר של המתמטיקאים חשבו כי הלך לעולמו) החל שמו לצוף בעשרות תאוריות בתחומי הכלכלה, הביולוגיה האבולוציונית, במדע המדינה ובעוד תחומים. בין אישפוז לאישפוז, בין התפרצות אחת לשניה, הסתובב נאש באוניברסיטאות שבהן ידע את ימי התהילה שלו, לבוש בלואים, מתנהג באורח מוזר, תולה כרזות משונות, עושה מעשי קונדס ומפחיד מזכירות צעירות.

בשנת 1990 לאחר שלושה עשורים שבהן נחשב לחולה חשוך מרפא, התחולל נס ונאש חזר להיות שפוי ורציונאלי ואף החל לתרום מחדש את תרומתו למתמטיקה.

חתן פרס ישראל אריאל רובינשטיין תרם למתן פרס נובל לנאש

אריאל רובינשטיין

ההמשך ידוע. נאש זכה בפרס נובל בכלכלה כשאחד התורמים להחלטה הוא אריאל רובינשטיין, חתן פרס ישראל, שב-1982 כתב מאמר המשך למאמרו של נאש משנת 1950 והיה בין הממליצים להעניק לו את הפרס.

יצירת מופת עיתונאית

הספר "נפלאות התבונה" הוא יצירת מופת עיתונאית של סילביה נאסאר, בת 55, ילידת גרמניה (בת לאב אוזבקי ואם גרמניה). היא מוסמכת אוניברסיטת ניו יורק בכלכלה ומאז 1983 עבדה בשורה של עיתונים מובילים ולבסוף ככתבת כלכלית של הניו יורק טיימס. כיום היא פרופסור לעיתונות באוניברסיטת קולומביה.

היא ניגשה לכתוב את הספר כשלא נמצאה בשום מקום אף לא פיסת מידע כתובה על האיש. כדי לבנות את הסיפור היא ראיינה כאלף אנשים – החל בבני משפחתו של נאש וחבריו לאקדמיה משך השנים דרך פסיכיאטרים, מומחים לסכיזורפרניה, מומחים לתורת המשחקים, אסטרטגיה, מחשבים לוחמה גרעינית ועוד. עברה על אלפי מכתבים, פרוטוקולים, מסמכים וספרים.

הפרקים על מחלתו של נאש והחלמתו הם לטעמי הפחות חשובים בספר. מעניינים דווקא הפרקים על תקופת פעולתו של "המוח היפהפה" כפי שהיא מכנה את חטיבת הפרקים הזו וכן תקופת התחיה מחדש עד קבלת פרס נובל ואחריו. סילביה נאסר משכילה לתאר בלשון קולחת לא רק את הנושאים המתמטיים המורכבים שבהם עוסק הספר (וזאת בלי להשתמש כמעט בנוסחאות מתמטיות). היא מצליחה לשחזר את דמויותיהם של הגאונים שסבבו את נאש – כיצד נראו, איך התלבשו, איך התבדחו ואיך פעלו. היא מתארת בצבעים חיים את התקופה הרת הגורל שלאחר מלחמת העולם השניה כאשר העולם כולו היה על סף מלחמה גרעינית. היא מתארת בלשון אמן את האקדמיה האמריקנית על עליותיה ומורדותיה. על האנשים היפים והמכוערים שבה. היא גם לא נמנעת מלתאר את האנטישמיות שהיתה נחלת האוניברסיטאות היוקרתיות ביותר למרות התרומה הגדולה של יהודים למוסדות אלה. היא יורדת לפרטי הפרטים של צבע הלבוש, והריהוט בחדר ההסבה, וצבע הבניינים ומראה המדשאות. זהו ספר התורם להבנת התקופה, להבנת אמריקה, להבנת האקדמיה ולהבנת המתמטיקה. בעקבות הספר הופק גם סרט מצויין הנושא אותו שם.

זכה בנובל באחור של 50 שנה. ג'ון פורבס נאש. (ויקישיתוף)

זכה בנובל באחור של 50 שנה. ג'ון פורבס נאש. (ויקישיתוף)

ראה חידת היגיון

פורסם בקטגוריה חינוך, מדע, מתמטיקה, ספרים, סרטים, עם התגים , , , , , . אפשר להגיע לכאן עם קישור ישיר.

2 תגובות בנושא חדוות המתמטיקה ונפלאות התבונה

  1. פינגבאק: חידת היגיון: כמה פוליטיקאים הם דוברי אמת | היגיון בשיגעון

  2. מאת מישהי‏:

    כתבה מעוררת השראה. זה רק מראה על החשיבות של מורה טוב. אני רואה על עצמי שמקצועות שהיו לי בהם מורים טובים (תנ"ך, כימיה) אני מאוד אוהבת ומתעניינת בהם, ומקצועות שהיו לי בהם מורים גרועים (מתמטיקה למרבה הצער) שנאתי לאורך כל התיכון. רק עכשיו אני מגלה מחדש את הסקרנות הטבעית שאבדה לי במערכת החינוך.
    אני בהחלט הולכת לחפש את הספר הזה.

השאר תגובה